EPISTEMOLOGIA DIDACTICA, LA EPISTEMOLOGIA CONSTRUCTIVISTA Y PERSPECTIVA DE LA DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS.. Clara Nava

La grande didáctica de Comenius fue dura de morir: «un método único basta para
enseñar todas las materias... las artes, las ciencias y las lenguas» (Comenius,
1657).
Fueron necesarios siglos para llegar a establecer en modo definitivo que las
didácticas pueden ser, son, específicas; lo que le permitió a la didáctica (general)
librarse del yugo de la pedagogía y a las didácticas específicas (disciplinares) a
asumir un estatus como tales.

Se complementa armónicamente con el paradigma empirista; bajo este
punto de vista, la actividad del sujeto que trata de
conocer (el sujeto cognoscente) queda subordinada al
objeto de su conocimiento y su actividad –primordialmente perceptual– y sólo puede producir un conocimiento que es reflejo fiel de una realidad externa estructurada.
(1724-1804) postula en su Crítica de la razón pura que,
cuando el sujeto entra en contacto con su objeto de
conocimiento, recibe impresiones sensibles que somete
a un proceso organizador, mediante estructuras cognitivas innatas. Lo que resulta es el conocimiento.

Piaget quiso que la epistemología estuviese dotada demecanismos de control sobre sus afirmaciones. La historia de la ciencia (concebida como laboratorio epistemológico) y la psicología le darían los elementos para
diseñar el dominio experimental de su versión de esta
disciplina.
El objetivo de la epistemología genética es la explicación del conocimiento científico; su base experimental,
la constituye la historia de la ciencia y ciertos experimentos psicológicos, que quedan enmarcados en la llamada psicología genética, desarrollada para tales fines
por Piaget y su escuela ginebrina. Describiremos ahora
las relaciones entre las tesis epistemológicas centrales
de la teoría piagetiana y los «experimentos psicológicos» diseñados como parte del dominio empírico correspondiente, al tiempo que haremos algunas anotaciones
desde la perspectiva educativa.
Piaget siempre estuvo bajo la fuerte influencia de la
ciencia de su tiempo (esto ya es evidente en su artículo
Las dos direcciones del pensamiento científico, de 1929).
Su epistemología está pensada alrededor de las categorías básicas de la ciencia: el espacio, el tiempo, la
causalidad, el principio de conservación de la materia, el
número, etc. Piaget realizó investigaciones decisivas
sobre estas categorías, desde la perspectiva de la historia
de las ideas, que lo llevaron a una explicación de la razón
profunda de la existencia de un pensamiento racional.
Pero consideró necesario dar una mayor sustentación
empírica a sus aseveraciones de orden epistemológico.

La teoría de las situaciones matemáticas (situaciones a-didácticas) tiene por
objetivo definir las condiciones en las cuales un individuo se le conduce a “hacer”
matemática, a utilizarla o a inventarla sin la influencia de condiciones didácticas
específicas, determinadas o hechas explícitas por el docente.
Es bien conocido el hecho que Guy Brousseau estudió por casi tres décadas
(desde inicio de los años ’60 y por toda la década de los 80) como se aprenden los
números naturales y su estructura. Por toda la década de los ’60 (y, en algunos
casos, incluso después) dominaban ciertas ideas que hoy encontramos curiosas,
cuya base la encontramos en diversas “teorías”, sobre el aprendizaje de los
números naturales por parte de niños que iniciaban la escuela primaria. Por
ejemplo, era considerado obvio que, para que se diera el aprendizaje, oral y escrito
de los números naturales, se debía proceder según la escansión de la sucesión
ordinal, primero 1, después 2, después 3 y así sucesivamente. En ese entonces se
insistía fuertemente en el uso de materiales pre-confeccionados basados en ésta
supuesta necesidad y por tanto la reforzaban.

El objetivo de este capítulo es analizar el estado actual, desde el punto de vista
epistemológico, de la Didáctica de la Matemática, tratando de situarla en el contexto de
las disciplinas científicas en general y de las ciencias de la educación en particular.
Interesa, en primer lugar, realizar una clarificación terminológica.
propuesto por Higginson (1980), quien considera a la matemática, psicología, sociología
y filosofía como las cuatro disciplinas fundacionales de ésta. Visualiza la Educación
Matemática en términos de las interacciones entre los distintos elementos del tetraedro
cuyas caras son dichas cuatro disciplinas

Del estudio de las corrientes epistemológicas se desprende que las teorías
científicas no pueden ser realizaciones individuales ni hechos aislados; debe haber una
comunidad de personas entre las que exista un acuerdo, al menos implícito, sobre los
problemas significativos de investigación y los procedimientos aceptables de plantearlos
y resolverlos. Es preciso compaginar la autonomía personal en la elaboración de ideas y
conceptos nuevos con la necesidad de que estas ideas sean contrastadas y compartidas.
Las teorías son pues frutos o consecuencias de las líneas de investigación sostenidas por
una comunidad mas o menos grande de especialistas en un campo determinado.
Romberg (1988), de acuerdo con los requisitos exigidos por Kuhn para que un
campo de investigación se encuentre en el camino hacia la "ciencia normal", afirma que
es necesario que se den las siguientes circunstancias:
Perspectiva de la Didáctica de las Matemáticas
(1) Debe existir un grupo de investigadores con intereses comunes acerca de las
interrelaciones existente entre distintos aspectos de un fenómeno complejo del mundo
real. Por tanto, debe haber una cuestión central (o dominio) que guíe el trabajo de dicha
comunidad particular de especialistas.
Shulman (1986), para el caso de las ciencias sociales y humanas y, por tanto, para la
Educación Matemática, la coexistencia de escuelas competitivas de pensamiento puede
verse como un estado natural y bastante maduro en estos campos ya que favorece el
desarrollo de una variedad de estrategias de investigación y el enfoque de los problemas
desde distintas perspectivas. La complejidad de los fenómenos puede precisar la
coexistencia de distintos programas de investigación, cada uno sustentado por
paradigmas diferentes, con frecuencia mezcla de los considerados como idóneos para
otras disciplinas.
(Steiner y cols, 1984), la "Teoría de la Educación Matemática" se ocupa de la situación
actual y de las perspectivas para el desarrollo futuro de la Educación Matemática como
un campo académico y como un dominio de interacción entre la investigación, el
desarrollo y la práctica.
Genovard y Gotzens (1990, p. 33) como la "disciplina científica y aplicada desarrollada
a partir de la psicología de la educación, que estudia las variables psicológicas y su
interacción con los componentes de los procesos de enseñanza - aprendizaje que
imparten unos sujetos específicos que pretenden enseñar unos contenidos o destrezas
concretas a otros individuos igualmente específicos y en un contexto determinado".
Estos autores analizan y clasifican diferentes teorías y modelos instruccionales
desde una perspectiva interaccionista en tres tipos: interacción cognitiva, social y
contextual. La interacción cognitiva, en la que sitúan las teorías de Piaget, Bruner y
Ausubel, designa las teorías instruccionales que subrayan el hecho de que la instrucción
es básicamente un intercambio de información, en su acepción más amplia, que se
produce entre profesores y alumnos y que debe ejercerse en condiciones lo más óptimas
Educación Matemática descritas por Higgison (1980). El citado predominio se
manifiesta viendo la vitalidad del Grupo Internacional PME (Psychology of
Mathematics Education), constituido en el Segundo Congreso Internacional de
Educación Matemática (ICME) y que ha celebrado en 1991 su 15 Reunión Anual.
Los objetivos principales de este colectivo abierto de investigadores, tal como
aparecen en sus estatutos

El maestro propone a sus alumnos un problema que él considera ser análogo a un
problema que les había dado en precedencia, pero en el cual no habían logrado el
éxito esperado. Él espera que sus estudiantes reconozcan la similitud y que
utilicen las correcciones y las explicaciones que él les ha dado para reproducir el
mismo método de solución, de forma tal que puedan afrontar con éxito la nueva
situación. Él los induce fuertemente a buscar y a utilizar esta analogía.
La respuesta “Giovanna” (58.4% de dicha respuesta en alumnos de 8 - 9 años)
puede ser justificada por el hecho que el estudiante considera que, si el maestro da
un problema, este debe poderse resolver; por tanto, aún si se da cuenta que falta el
dato de la suma inicial, se lo inventa implícitamente más o menos como sigue:
«Este problema debe ser resuelto, por tanto, quizás Giovanna y Paula partieron
con la misma suma de dinero». A este punto, la respuesta es correcta: Giovanna
gasta menos y como consecuencia le queda más dinero. Esto justifica la parte
escrita de la respuesta de Estefanía. A este punto se acciona otro mecanismo
Para esta idea, que comencé a usar en los primeros años ’90, tomé como punto de partida
Chevallard (1988) que, hablando de metacontrato, citaba este mismo término aunque con otro
sentido.

punto, el control crítico se desploma y ... cualquier operación está bien.
En el trabajo D’Amore, Sandri (1998), a esta cláusula del contrato didáctico la
llamamos: “exigencia de la justificación formal” (ejf), la cual estudiamos
detalladamente (incluso en trabajos sucesivos). Dicha cláusula ejf está
fuertemente presente en los sucesivos grados escolares (11 - 14 años).
aparece explícitamente en el texto. Cuenta poco el sentido de la pregunta
contenida en los problemas de matemática, lo que cuenta en realidad es hacer uso
de los datos numéricos explícitamente propuestos como tales. Uno de los alumnos
entrevistado, declara: «Si tu querías que calculáramos también el regreso, debías
habérnoslo dicho»; es evidente la laguna que el alumno advierte: en ninguno de
los datos aparece lícito duplicar el gasto por el recorrido en kilómetros.
contrato didáctico impone reglas de comportamiento y, como explicaba
Brousseau, las constricciones didácticas se imponen sobre las a-didácticas.
Resulta interesante leer la actitud de los estudiantes frente al siguiente problema
de Alan Schoenfeld (1987):
Si se da como consigna revolver sólo P1, ocultando a la vista P2, siempre se notará
entre los presentes un tiempo de incomodidad más o menos largo. Dado poco
tiempo después P2, muchos estarán dispuestos a admitir con sinceridad que,
mientras el segundo problema se resuelve inmediatamente con la división 6÷2,
resolver el primero con la división análoga 2÷0.75 crea un gran malestar.
Veamos el comentario que hace el mismo Fischbein (1985): «Como consecuencia
se puede suponer que son precisamente los números y las relaciones entre estos a
bloquear o a facilitar el reconocimiento de la operación de división como proceso
de resolución. Cada operación aritmética posee, además a su significado formal,
también uno o más significados intuitivos.

En este apartado incluimos nuestra visión sobre el estado actual de desarrollo de la
didáctica de la matemática como disciplina científica, para lo cual analizamos algunos
indicadores empíricos y argumentaciones a favor de tres tesis:
Godino, J. D. (2000). La consolidación de la educación matemática como disciplina científica. En, A.
Martinón (2000). Las matemáticas del siglo XX. Una mirada en 101 artículos (pp. 347-350). Madrid:
Nívola.

La didáctica de la matemática (que para nosotros es un aspecto de la más
general educación matemática) es el arte de concebir y de crear condiciones que
pueden determinar el aprendizaje de un conocimiento matemático por parte del
individuo (que puede ser un organismo cualquiera implicado en dicha actividad:
una persona, una institución, un sistema, o incluso un animal).

Para el tema de las prácticas, véase D’Amore (2005) y D’Amore, Godino (2006).
de otra parte, tratar que dicha reducción se de en realidad, es decir, con un
grado de incertidumbre limitado, del punto de vista del docente.
De aquí se entiende el papel del milieu

Mientras reenvío a Brousseau (2006a, b) para un análisis comparado y crítico de
dicho término y de sus diversas exigencias, hago explícito el hecho que me
referiré, aún si no lo digo abiertamente, a estos recientes dos trabajos de
Brousseau y a otros trabajos suyos, todos estos citados en la bibliografía. Algunas
de las frases que siguen fueron tomadas libremente de estos textos, sin cambiar el
espíritu. Para no hacer pesado el texto, no citaré siempre los trabajos de
Brousseau, lo que haré sólo en algunas ocasiones.